凝聚态理论

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序章：多者异也

凝聚态物理学

层展论 Emergent: 客观世界是分层次的，每个层次有自己的规律

还原论 Reductionism: 自然界的一切都由其最基本的组成单元和规律所决定

凝聚态三大基石：对称性破缺，准粒子，拓扑序。

基态：对称性，拓扑结构

低能激发：准粒子，拓扑缺陷

凝聚态物理基本方程

与高能物理不同，我们知道描述凝聚态物质的基本方程：多粒子薛定谔方程

挑战：然而，人类目前只能解析求解1到2个电子的例子，屈指可数：自由粒子，谐振子，氢原子，势阱。现代超级计算机最多计算个电子，但是固体材料中电子数是量级！所以直接求解上述方程完全不现实。

应对方案

根据着重于感兴趣的自由度对上述方程进行不同的近似方法。

自由电子近似：不考虑电子之间相互作用以及与晶格的相互作用。

独立电子近似：不考虑电子之间的相互作用但仍感受到晶格势的作用。

Hartree-Fock近似：考虑电子相互作用的直接交换与间接交换的效果。

无规相近似(randon phase approximation,简称RPA)：超越HF近似中最常用也最简单的方案,广泛应用于电子气体以及超导配对的研究。

局域密度近似(local density approximation,简称LDA ：密度泛函理论实际计算采用的主要近似方法。

Gutzwiller近似：广泛应用于关联电子模型的定性计算,其特点是把投影算符的效果用一系列系数代替进而极大简化模型的计算。

动力学平均场理论(dynamic mean-feld theory,简称DMFT)：把晶格模型映射至一个或者几个量子杂质问题,然后把杂质问题的解与晶格问题相匹配得到晶格模型的近似解.其对空间关联做了平均场近似,而时间关联则通过求解杂质问题而明确计入,既然时间关联反映系统的动力学行为,因此称为动力学平均场。

密度矩阵重整化群(density matrix renormalization group,简称DMRG)：是实空间重整化群理论的重要改进,其特点是把约化密度矩阵的本征值的大小作为重整化过程中剔除的量子态的判据,是维晶格模型求解的良好方法。

张量网络(tensor network)：把系统的波函数假设为张量乘积形式,通过变分最优化张量波函数的每一个元素而得到系统状态的近似描述.其一维形式是矩阵乘积形式的波函数,即矩阵乘积态。

什么是电子关联

电子关联可以理解为一个电子运动会受到其他电子所处状态的影响

弱关联：这种影响很弱时称为弱关联。例如能带理论中考虑一个电子运动时可以把它看作是独立的电子,其他电子并不会对其有多大影响,它们仅仅是按照能量最低原理填充其他状态而形成背景。

强关联：考虑在晶格格点上不断跳跃的电子,若这些电子中同时有两个占据同一个格点会导致非常大排斥作用,那么任意一个电子都不能自由的运动,它们在格点间运动会顾及其他电子运动的情况,会尽量避免在同一个格点位置相遇。

判断依据：通常认为如果体系的物理性质比较接近于自由费米气体(费米液体)或者LDA计算的结果,那么我们会说体系是弱关联的.反之,相应的体系可能是强关联的。

学习内容

方法：二次量子化,零温Green函数,有限温度的松原Green函数,量子场的Feynman路径积分

应用：Coulomb电子气、等离激元、铁磁和反铁磁自旋波、电声相互作用模型、Bogolibov超流理论以及BCS超导理论。

固体物理回顾

描述固体材料的结构（晶体结构）

描述固体的形成（各种键）

描述组成晶体的原子的运动（晶格动力学与声子）

描述金属中的电子运动（自由电子气模型）

描述电子在周期势中的运动（Bloch定理与能带理论）

第二章：二次量子化：冒险的开始

一次量子化与挑战

一次量子化：把经典的数换成算符+对易关系

二次量子化：把波函数换成算符+对易关系

一次量子化的多体波函数：容纳所有伙伴的函数

首先，多粒子直积态（乘积态）的叠加

通过考虑玻色子的交换对称性与费米子的交换反对称性，对上式挑选合适的态来构造波函数。

N个全同费米子的多体Slater波函数：

其中泡利不相容原理体现在：任意两个波函数指标相同时，行列式自动为零。

一次量子化的简单应用：铁磁交换作用的产生

一次量子化的挑战

当尝试用多体波函数计算物理量期望值时,我们发现需要计算十分可怕的多重积分

可以看到,对坐标的积分重数是,而后面波函数乘积的项数是,所以对关心的凝聚态系统,计算的复杂性与困难性显而易见。

序章：多者异也

凝聚态物理学