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这篇文章避免了大部分复杂数学，以两个最简单的量子相变模型来解释一般相变和拓扑相变的区别
1. 一般相变
1.1 一维横场Ising模型
对于一般的相变是朗道理论预言的由对称性自发破缺导致的。
比如在一维横场Ising模型中的量子相变
其相图为
这个模型存在 对称性，即自旋翻转后哈密顿量保持不变。系统在铁磁基态理论上是二重简并的，即自旋全部朝上，和自旋全部朝下，满足 对称性。
但在实际系统中，会自发地选择其中一个态作为系统的基态，即自发对称性破缺，系统不再满足 对称性。但在顺磁相，系统依然满足 对称性。
当从大到小调解横向磁场 ，系统会在临界点 处发生从顺磁相到铁磁相的量子相变，系统的对称性减小了。即这种相变类型是自发对称性破缺引起的量子相变。
2. 拓扑相变
后来发现自然界还存在另一种相变类型，系统不会发生对称性破缺。
2.1 SSH 模型
比如SSH模型的格点模型为
费米子表象的哈密顿量为
其中 表示体系的不均匀度，取开边界条件并且有限个格点 ，其能谱图为
为方便处理，以下讨论都取 . 在 的时候，系统没有零能模（暂且称为正常绝缘态，NI）。如果体系是半满，即 个电子（电子之间无相互作用），由于体系离散能谱有 个负能级， 个正能级，那么 个电子直接填满 个负能级也就是说这种情况基态是非简并的。
在 的时候，系统出现了两个零能模，即两个能级为 的态（暂且称为拓扑绝缘态，TI），在这种态上，如果体系是单电子，那么这个电子会完全局域在第 个格点的 子格或第 个格点的 子格中的一个上。如果体系是半满，即 个电子（电子之间无相互作用），由于体系离散能谱有 个负能级， 个零能级， 个正能级，那么 个电子先填满 个负能级，剩下一个电子填充 个零能级中的一个，也就是说这种情况基态是双重简并的。
由于有限格点时，会出现有限尺寸效应，所以零能模精确的分界线并不在 .
模型在热力学极限下的连续能谱为 ,画出图
显然我们可以看到，在 的时候，体系发生了从gapped到gapless的转变，即基态与激发态的能级发生了交叉，基态简并度发生了变化，即 与 的系统不是绝热相连（所谓绝热相连就是说一个系统经过变化，基态基态简并度不发生变化，基态能级不会与激发态能级态发生交叉，即基态与激发态之间的Gap不会闭合）的，体系必然发生了量子相变。但是相变点两边体系的对称性却是一样的，这显然不符合朗道理论，也就无法定义一个序参量。
2.2 拓扑不变量
那么如何来区分两种相呢？答案：拓扑不变量，也就是Berry相位。
这里先不呈现复杂的数学推导，只说个拓扑的物理图像
数学上类比比如杯子和甜甜圈，前者没洞，这两者在拓扑上明显是不等价的。那么可以定义某个量（一个对表面求积分的量，叫做“亏格数”）来区分它们。前者没有洞， ；后者有一个洞， 。
回到物理中，我们无法明显的从结构上看出来有没有洞，这里求的是对Berry相位进行积分也有一个量，叫做”拓扑不变量”： 。对于平庸态： ，对于非平庸拓扑态： （可能是因为边缘态存在导致的？）。
由于拓扑绝缘体伴随着边缘态出现的，我们可以把它看作几何结构上的”洞“。
对与量子霍尔效应来说，这个拓扑不变量即为 Chern number；
对于拓扑绝缘体来说，这个拓扑不变量即为 Invariants；
对于拓扑超导体来说，这个拓扑不变量即为 Majorana number。
3. Kitaev Superconductor Chain
Kitaev 链由在一维晶格上跃迁的自旋无关费米子组成，其哈密顿量为
其中 表示最近邻配对幅度，是自旋无关费米子系统中最简单的一种允许的超导序形式。此后我们为简便起见假设 为实数，并考虑一个具有 个格点且具有开放边界条件(OBC)的一维链。使用以下变换到Majorana representation
我么可以看到Majorana费米子反粒子就是其本身，并且一个普通费米子对应一对Majorana费米子。现在哈密顿量重写为
当固定参数 时，其能谱图 为
3.1 OBC的两种极限
考虑几个极限情况。首先 ，哈密顿量变为
基态由每个格点 上的费米子态全为占据（）或全为空态（）组成，这显然是一个拓扑平庸相。
接下来考虑 , 的情形，哈密顿量变为
基态可以通过引入一组新的费米子算符来简便地求得：
其中 。这些算符作用在一维链的最近邻键上，如图 (a) 所示。用这些新定义的费米子，哈密顿量可进一步重写为：
对于 ，该系统的基态就是一个 的真空态，其总能量为 。注意到，新的 Dirac 费米子算符是从 Majorana 费米子对 [] 开始的，也就是说哈密顿量中不包含算符 和 。这两个算符代表了定位在链两端的零能 Majorana 零模（MZM）。它们共同编码成一个 Dirac 费米子，这个费米子在物理上是非局域化地分布在链的两端。
3.2 PBC
上述所讨论的两个特殊情形分别代表了 Kitaev 模型中的两种不同拓扑相：一个是拓扑平庸相，另一个是具有未配对 MZM 局域在链端的拓扑相。为了展示这两种相确实是稳定的，我们考虑相同的哈密顿量，但采用周期性边界条件(PBC)。在动量空间中，该哈密顿量可以表示为：
并具有如下形式的激发谱
固定 变 的激发谱图为
如果我们现在关注的是超导相（即 ），那么很容易看出，激发谱在不满足 的情况下始终是有能隙的（gapped）。这个条件定义了两条边界线，它们标志着模型中两个稳定相之间的相边界。
这里我们应用了绝热连续性（adiabatic continuity）的一般原理，该原理指出：
如果两个相都是 gapped 的，并且在变换过程中不闭合激发能隙，那么它们可以视为是拓扑等价的
我们据此将区域 识别为拓扑非平庸相，因为上面讨论的第二种特殊参数落在该区域内。而其余区域则属于拓扑平庸相。
由于这两个相具有相同的物理对称性，它们之间的转变属于一种特殊类型的相变，被称为拓扑相变。这两个相的区别在于：在开放边界条件下是否在系统的两端存在未配对的 MZMs。这引出了一个自然的问题，也将在我们寻找现实系统中的拓扑相时具有重要意义：
在缺乏对称性差异的情况下，是否可以仅通过研究系统的本征（体相, bulk of the system）来理论上区分拓扑相和平庸相？
答案是：这样的相可以通过 拓扑不变量 来区分。
参考文献与资源
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- Author:Leoy
- URL:https://www.leoy.uk/article/topology
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