0 Introduction

• Classic Theory: Turing Machine — Any algorithmic process can be simulated efficiently using a probabilistic Turing machine.

• Quantum Mechanics: Universal Quantum Computer — sufficient to efficiently simulate an arbitrary physical system.

• Quantum field theory, string theory, quantum gravity? For now, we don't know.

1 Hadamard 门

2 CNOT门（Controlled-NOT gate）

• 作用： CNOT门在两个量子比特上作用，其中一个量子比特是控制比特，另一个是目标比特。CNOT门的作用是，如果控制比特为 1，则对目标比特进行NOT 操作（也称为X 门），否则目标比特保持不变。

3 贝尔态（Bell state）

1. 纠缠特性 • 如果测量其中一个量子比特，另一个量子比特的状态会立即确定。 • 例如，对于状态 |\Phi^+\rangle，如果你测量第一个量子比特，并得到 $|0\rangle$（控制比特），那么第二个量子比特（目标比特）也会是 $|0\rangle$。 • 如果你测量第一个量子比特并得到 $|1\rangle$，第二个量子比特也会是 $|1\rangle$。 这种强纠缠关系意味着，即使你远距离操作其中一个量子比特，另一个量子比特的状态也会立即反应出变化。

2. Bell 态的应用 • 量子隐形传态：通过量子纠缠，贝尔态被用来实现量子态的隐形传输。通过共享贝尔态，量子信息可以被传递到远处，而无需通过经典的通信信道传输。 • 量子密钥分发（QKD）：贝尔态是量子密钥分发协议（例如BB84协议）的基础，利用量子纠缠来确保密钥交换的安全性。 • 量子计算：贝尔态可用于量子计算中量子算法的实现，特别是量子门操作和量子比特之间的相互作用。

3. 如何生成贝尔态？ 贝尔态可以通过以下步骤生成：
1. 准备一个初态： 将两个量子比特都初始化为 $|0\rangle$。
2. 应用 Hadamard 门： 对其中一个量子比特（通常是第一个量子比特）应用 Hadamard 门，使其进入叠加态： $$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$$
3. 应用 CNOT 门： 将第一个量子比特作为控制比特，第二个量子比特作为目标比特，应用 CNOT 门。这时，两个量子比特将会形成一个贝尔态。 例如，假设两个量子比特都初始化为 $|0\rangle$，通过以下操作来生成 $|\Phi^+\rangle$ 贝尔态： • 先对第一个量子比特应用 Hadamard 门，得到： $$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) \otimes |0\rangle$$ • 然后应用 CNOT 门，控制比特是第一个量子比特，目标比特是第二个量子比特，得到最终的Bell态： $$|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle)$$ Quantum Circuit 图示：![[Pasted image 20250214173257.png]]

4 GHZ态

• GHZ态的定义：一般地，n 个量子比特的 GHZ 态可以表示为： $$|\text{GHZ}_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |00\cdots0\rangle + |11\cdots1\rangle \right)$$ 其中，$|000\cdots0\rangle$ 和 $|11\cdots1\rangle$ 是 n 个量子比特的两个极端状态，分别代表所有量子比特都处于 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 的状态。

• GHZ态的物理实现： 在实验上，GHZ态可以通过以下方式生成： • 首先，将所有量子比特初始化为 $|0\rangle$。 • 对第一个量子比特应用 Hadamard 门，将其转化为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$。 • 然后，应用一系列的 CNOT 门，使得后续量子比特与第一个量子比特产生纠缠，最终得到一个多量子比特的 GHZ 状态。